if x = 2sin(theta)/(1 + cos(theta) + sin(theta)), then 1-cos(theta)+ sin(theta)/(1+sin(theta) = 

a) 1+x  b)1-x   c) x d)1/x

Dear Student,

$\Rightarrow$$\frac{1-\mathrm{cos\theta }+\mathrm{sin\theta }}{1+\mathrm{sin\theta }}$ = $\frac{1-\mathrm{cos\theta }+\mathrm{sin\theta }}{1+\mathrm{sin\theta }}$ x $\frac{1+\mathrm{cos\theta }+\mathrm{sin\theta }}{1+\mathrm{cos\theta }+\mathrm{sin\theta }}$
                              = $\frac{\left[\left(1+\sin \theta \right)-\cos \theta \right]\left[\left(1+\mathrm{sin\theta }\right)+\cos \theta \right]}{\left(1+sin\theta \right)\left(1+\mathrm{sin\theta }+\mathrm{cos\theta }\right)}$
                            = $\frac{\left[{\left(1+\sin \theta \right)}^2-{\cos }^2\theta \right]}{\left(1+\mathrm{sin\theta }+\mathrm{cos\theta }+\mathrm{sin\theta }+{\sin }^2\mathrm{\theta }+\mathrm{sin\theta } \mathrm{cos\theta }\right)}$         (Using (a-b)(a+b) = a² - b² )
                          = $\frac{\left[\left(1+2\sin \theta +{\sin }^2\mathrm{\theta }\right)-{\cos }^2\theta \right]}{\left(1+2\mathrm{sin\theta }+{\sin }^2\mathrm{\theta }+cos\theta +\mathrm{sin\theta } \mathrm{cos\theta }\right)}$
                         = $\frac{\left[\left({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta +2\sin \theta +{\sin }^2\mathrm{\theta }\right)-{\cos }^2\theta \right]}{\left(1+2\mathrm{sin\theta }+{\sin }^2\mathrm{\theta }+cos\theta +\mathrm{sin\theta } \mathrm{cos\theta }\right)}$      (Using sin²A + cos²A = 1 )
                       = $\frac{\left[\left(2si{n}^2\theta +2\sin \theta \right)\right]}{\left({\left(1+\sin \theta \right)}^2+cos\theta \left(1+sin\theta \right)\right)}$
                     = $\frac{2sin\theta \left(sin\theta +1\right)}{\left(1+sin\theta \right)\left[\left(1+\sin \theta \right)+\cos \theta \right]}$
                    = $\frac{2sin\theta }{\left[\left(1+\sin \theta \right)+\cos \theta \right]}$
                  =   x                                              (As per given expression for x)

Hence option c is correct 

Regards