Please solve example 43

Please solve example 43 inG,P. Sin sin— cos . then (d) independent afa ICEE (Delhi) We have,

We will use differentiation rule for determinantf'x=d xndxd sinxdxd cosxdxn!sinnπ2cosnπ2aa2a3+xnsinxcosxd n!dxd sinnπ2dxd cosnπ2dxaa2a3+xnsinxcosxn!sinnπ2cosnπ2dadxda2dxda3dx=d xndxd sinxdxd cosxdxn!sinnπ2cosnπ2aa2a3+xnsinxcosx000aa2a3+xnsinxcosxn!sinnπ2cosnπ2000=d xndxd sinxdxd cosxdxn!sinnπ2cosnπ2aa2a3+0+0f'x=d xndxd sinxdxd cosxdxn!sinnπ2cosnπ2aa2a3d2fxdx2=d dxd xndxd dxd sinxdxd dxd cosxdxn!sinnπ2cosnπ2aa2a3+d xndxd sinxdxd cosxdxd n!dxd sinnπ2dxd cosnπ2dxaa2a3+d xndxd sinxdxd cosxdxn!sinnπ2cosnπ2dadxda2dxda3dx=d2 xndx2d2 sinxdx2d2 cosxdx2n!sinnπ2cosnπ2aa2a3+d xndxd sinxdxd cosxdxd n!dxd sinnπ2dxd cosnπ2dxaa2a3+d xndxd sinxdxd cosxdxn!sinnπ2cosnπ2dadxda2dxda3dx=d2 xndx2d2 sinxdx2d2 cosxdx2n!sinnπ2cosnπ2aa2a3+d xndxd sinxdxd cosxdx000aa2a3+d xndxd sinxdxd cosxdxn!sinnπ2cosnπ2000=d2 xndx2d2 sinxdx2d2 cosxdx2n!sinnπ2cosnπ2aa2a3+0+0d2fxdx2=d2 xndx2d2 sinxdx2d2 cosxdx2n!sinnπ2cosnπ2aa2a3d3fxdx3==d dxd2 xndx2d dxd2 sinxdx2d dxd2 cosxdx2n!sinnπ2cosnπ2aa2a3+d2 xndx2d2 sinxdx2d2 cosxdx2d n!dxd sinnπ2dxd cosnπ2dxaa2a3+d2 xndx2d2 sinxdx2d2 cosxdx2n!sinnπ2cosnπ2dadxda2dxda3dx=d3 xndx3d3 sinxdx3d3 cosxdx3n!sinnπ2cosnπ2aa2a3+d2 xndx2d2 sinxdx2d2 cosxdx2d n!dxd sinnπ2dxd cosnπ2dxaa2a3+d2 xndx2d2 sinxdx2d2 cosxdx2n!sinnπ2cosnπ2dadxda2dxda3dx=d3 xndx3d3 sinxdx3d3 cosxdx3n!sinnπ2cosnπ2aa2a3+d2 xndx2d2 sinxdx2d2 cosxdx2000aa2a3+d2 xndx2d2 sinxdx2d2 cosxdx2n!sinnπ2cosnπ2000=d3 xndx3d3 sinxdx3d3 cosxdx3n!sinnπ2cosnπ2aa2a3+0+0d3fxdx3=d3 xndx3d3 sinxdx3d3 cosxdx3n!sinnπ2cosnπ2aa2a3Following the patterndnfxdxn=dn xndxndn sinxdxndn cosxdxnn!sinnπ2cosnπ2aa2a3Nowd xndx=nxn-1  d2 xndx2=nn-1xn-2d3 xndx3=nn-1n-2xn-3Following the patternd2 xndx2=nn-1n-2...n-n-2n-n-1xn-n=nn-1n-2....2.1dn xndxn=n!dnfxdxn=n!dn sinxdxndn cosxdxnn!sinnπ2cosnπ2aa2a3d sin xdx=cos xd2 sin xdx2=-sin xd3 sin xdx3=-cos xd4 sin xdx4=sin xFollowing the patterndn sin xdxn=cos x,  n=4k+1 type-sin x,  n=4k+2 type-cos x, n=4k+3 typesin x, n=4k type ,k0Similarlydn cos xdxn=-sin x,  n=4k+1 type-cos x,  n=4k+2 typesin x, n=4k+3 typecos x, n=4k type ,k0Given n=2m+1 which is odd it will be either 4k+1 type or 4+2 typeCase 1: n=2m+1=4k+1 dnfxdxn=n!cos x-sin xn!sinnπ2cosnπ2aa2a3dnfxdxn at x=0 and n=4k+1=n!10n!sin4k+1π2cos4k+1π2aa2a3At odd multiple of π2 cos x is zero=n!10n!sin2+π20aa2a3=n!10n!sinπ20aa2a3=n!10n!10aa2a3=0 Note two rows are sameCase 2: n=2m+1=4k+3 dnfxdxn=n!-cos xsin xn!sinnπ2cosnπ2aa2a3dnfxdxn at x=0 and n=4k+3=n!-10n!sin4k+3π2cos4k+3π2aa2a3At odd multiple of π2 cos x is zero=n!-10n!sin2+3π20aa2a3=n!-10n!sin3π20aa2a3=n!-10n!-10aa2a3=0  Note two rows are same

  • 1
What are you looking for?